Question

如图，三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E为侧棱PB的中点，求直线AE与底面ABC所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）先证明PA⊥PC，再证明BC⊥平面ACP，可得PA⊥BC，利用线面垂直的判定，可得PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）取AC中点O，连接PO、OB，并取OB中点H，连接AH、EH，证明∠EAH为直线AE与底面ABC所成角，且sin∠EAH=，由此可得结论．
（Ⅰ） 证明：由∠APC=90°知，PA⊥PC，
又AP=PC=2，所以AC=2，…（2分）
又AB=4，BC=2，所以AC2+BC2=AB2，
所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，…（3分）
又侧面PAC⊥底面ABC，侧面PAC∩底面ABC平面=AC，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥平面ACP，所以PA⊥BC，…（5分）
又PC∩BC=C，所以PA⊥平面PBC…（6分）
（Ⅱ）【解析】
如图，取AC中点O，连接PO、OB，并取OB中点H，连接AH、EH，
因为PA=PC，所以PO⊥AC，
∵BC⊥平面ACP，PO⊂平面ACP
∴BC⊥PO
∵AC∩BC=C，∴PO⊥平面ABC，
又E为侧棱PB的中点，H为OB中点，∴EH∥PO
∴EH⊥平面ABC，…（8分）
∴∠EAH为直线AE与底面ABC所成角，且sin∠EAH=…（10分）
又PO=AC=，∴EH=PO=，
∵PA⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，∴AP⊥PB，∴PB=2，PE=，
∴AE=，…（11分）
∴sin∠EAH===
所以直线AE与底面ABC所成角的正弦值为．…（12分）