Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）请分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（Ⅱ）若该公司采用函数模型y=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

Answer

（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%．即f（x）≤．
（Ⅱ）先将函数解析式进行化简，然后根据函数的单调性，以及使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤对x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相应的a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）对于函数模型f（x）=+2
当x∈[10，1000]时，f（x）为增函数  …（2分）
f（x）max=f（1000）=+2=+2＜9，所以f（x）≤9恒成立；…（4分）
但当x=10时，f（10）=+2＞，即f（x）≤不恒成立
故函数模型y=+2不符合公司要求…（6分）
（Ⅱ）对于函数模型g（x）=，即g（x）=10-
当3a+20＞0，即a＞-时递增…（8分）
为使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立，即要g（1000）≤9，3a+18≥1000，
即a≥…（10分）
为使g（x）≤对x∈[10，1000]恒成立，即要≤，即x2-48x+15a≥0恒成立，
即（x-24）2+15a-576≥0（x∈[10，1000]）恒成立，又x=24∈[10.1000]，
故只需15a-576≥0即可，
所以a≥…（12分）
综上所述，a≥，所以满足条件的最小的正整数a的值为328…（13分）