Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点A（n，）（n∈N）总在直线y=x+上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=（n∈N），试问数列{b_n}中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用点A（n，）（n∈N）总在直线y=x+上，可得Sn=，再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）an=n+1，可知，猜想{bn+1}递减，即猜想当n≥2时，，再进行证明，从而可得数列{bn}的最大项．
【解析】
（Ⅰ）∵点A（n，）（n∈N）总在直线y=x+上，
∴，∴Sn=…（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-[]=n+1…（4分）
当n=1时，a1=S1=2满足上式
故数列{an}的通项公式为an=n+1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）an=n+1，可知 …（6分）
==b2，，，
所以，b2＞b1=b3＞b4 …（8分）
猜想{bn+1}递减，即猜想当n≥2时，…（10分）
考察函数，则y′=，
∵x＞e，∴lnx＞1，∴y′＜0，
∴在（e，+∞）上是减函数，而n+1≥3＞e…（12分）
∴＜，即．
∴猜想正确，
因此，数列{bn}的最大项是．…（13分）