Question

已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y²=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意可求a，由=可求c，然后由b2=a2-c2可求b，进而可求椭圆方程
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m≠0），联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求y1+y2，由可得|NA|=|NB|，利用距离公式，结合方程的根与系数关系可得，结合二次函数的性质可求t的范围
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线y2=8x的焦点F（2，0）
∴a=2
∵=
∴c=1
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆M的标准方程：（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m∈R，m≠0）
联立方程可得（3m2+4）y2+6my-9=0
由韦达定理得①（6分）
∵
∴|NA|=|NB|
∴=
∴
将x1=my1+1，x2=my2+1代入上式整理得：，
由y1≠y2知（m2+1）（y1+y2）+m（2-2t）=0，将①代入得（10分）
所以实数t（12分）