Question

设二次函数f（x）=mx²+nx，函数g（x）=ax³+bx-3（x＞0），且有f'（0）=0，f′（-1）=-2，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）是否存在实数k和p，使得f（x）≥kx+p和g（x）≤kx+p成立，若存在，求出k和p的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）先求导函数，利用f'（0）=n=0，f'（-1）=-2m+n=-2m=-2，可求f（x）的解析式；根据f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），可求g（x）的解析式；
（Ⅱ）先确定f（x）与g（x）有且仅有一个交点为（1，1），f（x）在点（1，1）处的切线为y=2x-1，再证明g（x）≤2x-1即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f'（x）=2mx+n，g'（x）=3ax2+b，∴f'（0）=n=0，f'（-1）=-2m+n=-2m=-2，即m=1，n=0，
∴f（x）=x2．    （2分）
∵f（1）=g（1），∴1=a+b-3①．
∵f'（1）=g'（1），∴2=3a+b②，
由①②解得a=-1，b=5，∴g（x）=-x3+5x-3（x＞0）．                   （4分）
（Ⅱ）令f（x）=g（x），可得x2=-x3+5x-3（x＞0）．
（法一）x3+x2-5x+3=0，（x3-x）+（x2-4x+3）=0，∴x（x+1）（x-1）+（x-1）（x-3）=0，
∴（x-1）（x2+2x-3）=0，∴（x-1）2（x+3）=0，∵x＞0，∴x=1，
即f（x）与g（x）有且仅有一个交点为（1，1），f（x）在点（1，1）处的切线为y=2x-1．         （8分）
（法二）设h（x）=x3+x2-5x+3（x＞0），h'（x）=3x2+2x-5=（x-1）（3x+5）（x＞0），
令h'（x）=0，解得x=1，且x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴x∈（0，+∞）时，h（x）≥h（1）=0．
所以，f（x）与g（x）有且仅有一个交点为（1，1）．f（x）在点（1，1）处的切线为y=2x-1．        （8分）
下面证明g（x）≤2x-1．
设p（x）=2x-1-g（x）=x3-3x+2（x＞0），
（法一）x3-3x+2=x3-x-2x+2=x（x+1）（x-1）-2（x-1）=（x-1）（x2+x-2）=（x-1）2（x+2）
∵x＞0，∴p（x）=x3-3x+2≥0，即g（x）≤2x-1．        （11分）
（法二）p'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），令p'（x）=0，解得x=1．
且x∈（0，1）时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，p'（x）＞0，p（x）单调递增，
∴x∈（0，+∞）时，p（x）≥p（1）=0，即g（x）≤2x-1．          （11分）
综上，k=2，p=-1（12分）