Question

选修41：几何证明选讲
如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，AB是⊙O₂的直径，过A点作⊙O₁的切线交⊙O₂于点E，并与BO₁的延长线交于点P，PB分别与⊙O₁、⊙O₂交于C，D两点．
求证：
（1）PA•PD=PE•PC；
（2）AD=AE．

Answer

（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；
（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．
证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线
∴PA•PE=PD•PB             （2分）
又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线
∴PA2=PC•PB        （4分）
由以上条件得PA•PD=PE•PC（5分）
（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F
∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°
∴AC是⊙O2的切线．（6分）
由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE（8分）
又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED
又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE
∴AD=AE（10分）