Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线L：ρsin²θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．
（I）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；
（II）求|BC|的长．

Answer

（Ⅰ）先求的点A的直角坐标为（4，3），求得曲线L的普通方程为：y2=2x，由于直线l的斜率为1，且过点
A（4，3），由点斜式求得直线l的普通方程为y=x-1．
（Ⅱ）把曲线L的方程和直线l的方程联立方程组，化为一元二次方程，利用韦达定理求出x1+x24和x1•x2的值，再利用
弦长公式求得|BC|的值．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，点A的直角坐标为（4，3），
曲线L即 ρ2 sin2θ=2ρcosθ，它的普通方程为：y2=2x，
由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），故直线l的普通方程为：y-3=x-4，即y=x-1．
（Ⅱ）设B（x1，y1）、C（x2，y2），由 可得 x2-4x+1=0，
由韦达定理得x1+x2=4，x1•x2=1，
由弦长公式得．