Question

已知正项等差数列a_n的前n项和为S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列b_n的前n项和为T_n，求T_n．

Answer

（Ⅰ）先利用等差数列的性质以及S3=12求出a2=4；再代入2a1，a2，a3+1成等比数列求出公差即可求{an}的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）的结论代入，直接利用数列求和的错位相减法即可求Tn．
【解析】
（Ⅰ）∵S3=12，即a1+a2+a3=12，
∴3a2=12，所以a2=4．（1分）
又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，
∴a22=2a1•（a3+1），即a22=2（a2-d）•（a2+d+1），（3分）
解得，d=3或d=-4（舍去），
∴a1=a2-d=1，故an=3n-2．（6分）
（Ⅱ），
∴，①
①×得．②
①-②得=，（10分）
∴．（12分）