Question

设函数f（x）=-x³+x²+（m²-1）x，其中m＞0．
（Ⅰ）求当m=1时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（Ⅱ）已知函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，再求出f′（1）即可；
（Ⅱ）题意等价于方程-x2+x+m2-1=0有两个相异的实根x1、x2，故x1+x2=3且△=1+（m2-1）＞0，再分类讨论，即可确定m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当m=1时，f′（x）=-x2+2x，故f′（1）=1．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．
（Ⅱ）由题意f（x）=x（-x2+x+m2-1）=-x（x-x1）（x-x2）
∴方程-x2+x+m2-1=0有两个相异的实根x1、x2，故x1+x2=3且△=1+（m2-1）＞0，所以m＞
∵x1＜x2，∴2x2＞x1+x2=3，故x2＞＞1
1°若x1≤1＜x2，则f（1）=-（1-x1）（1-x2）≥0，而f（x1）=0，不合题意；
2°若1＜x1＜x2，对任意的x∈[x1，x2]，x-x1≥0，x-x2≤0，则f（x）=-x（x-x1）（x-x2）≥0
而f（x1）=0，∴f（x）在[x1，x2]上的最小值为0
∴对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件为f（1）=m2-＜0
∴
综上，．