Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧面均是边长为2的正方形，AA₁⊥底面ABC，D是线段BB₁的中点．
（1）求证：平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C-A₁D-C₁的正弦值．

Answer

（1）证明DO⊥平面AA1C1C，利用面面垂直的判定，可以证明平面A1CD⊥平面AA1C1C；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面A1C1D的法向量，平面A1CD的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
（1）证明：连接AC1，设O=AC1∩A1C，连接OD
∵底面ABC为正三角形，侧面均是边长为2的正方形
∴DA=DA1=DC=DC1=，OA=OA1=OC=OC1
∴DO⊥AC1，DO⊥A1C
∵AC1∩A1C=O
∴DO⊥平面AA1C1C，
∵DO⊂平面A1CD 
∴平面A1CD⊥平面AA1C1C；
（2）【解析】
以O为坐标原点，OA，OA1，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则O﹙0，0，0﹚，A1﹙0，，0﹚，C1﹙-，0，0﹚D﹙0，0，﹚则，
设平面A1C1D的法向量为，由，可得，取
又OA⊥平面A1CD，则平面A1CD的一个法向量为
∴cos==-
∴二面角C-A1D-C1的正弦值为．