Question

已知函数．
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程-2e（e为自然对数的底数）仅有有两个不等的实根，求a的取值范围．

Answer

（1）求导，令导数大于零，对a分情况讨论，根据一元二次不等式的解的情况，即可求得结论；
（2）关于x的方程-2e恰有两个不等的实根，等价于恰有两个不等的实根，令G（x）=，利用导数工具，将问题转化为求函数的最值问题，即可求得结论．
【解析】
（1）函数F（x）的定义域为（0，+∞），F′（x）=1-+=…（1分）
 设h（x）=x2+x-a，方程x2+x-a=0的判别式△=1+4a，
①当△≤0时，即a≤-，F'（x）＞0，F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间   …（3分）
②当△＞0时，方程x2+x-a=0的两根为x1=，x2=，
（i）当，即-＜a≤0时，F'（x）＞0，
F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间   
（ii）当，即a＞0时，当x∈（0，）时，F'（x）＜0，
当x∈（，+∞）时，F'（x）＞0，
可得，当a＞0时，F（x）的单调增区间为（0，，单调减区间 （，+∞）．

（2）方程-2e=f（x）⇔⇔lnx=x2-a⇔…（7分）
令G（x）=，则G（x）的定义域为（0，+∞），
G′（x）=＞0，得0＜x＜e，∴G′（x）＜0得x＞e，
所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（ e，+∞）上单调递减     …（10分）
G（x）min=G（ e）=，函数G（x）的大致图象如图所示．
令H（x）=x2-2ex+a，则H（x）在x=e时取得最小值H（e）=a-e 2，
关于x的方程-2e（e为自然对数的底数）仅有有两个不等的实根，
必有a-e2＜，∴a＜e2+
所以a的取值范围是a＜e2+   …（12分）