Question

已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1，），椭圆C的焦点与曲线的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F任作椭圆C的一条弦PQ，直线AP、AQ分别交直线x=4于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求出定点的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）问的条件下，求以线段MN为直径的圆的面积的最小值．

Answer

（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，），由椭圆的定义，可得a的值，从而可求椭圆C的方程；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0），分类讨论：①当PQ⊥x轴时，以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9，可得以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；②当直线PQ与x轴不垂直时，可得以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-）2=，验证（1，0），（7，0）在圆上；
（3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），故可得线段MN为直径的圆的半径的最小值，从而可得结论．
【解析】
（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，），
由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
∴b2=a2-1=3
∴椭圆C的方程为；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=±
不妨令P（1，），Q（1，-）
由A，P，M三点共线，得，∴m=3
同理可得n=-3
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴
∴直线AM的方程为y=
代入椭圆方程，整理可得（27+m2）x2+4m2x+4m2-108=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则-2与x1是上述方程的两个实根
∴-2x1=，∴x1=，∴y1=
∴P（，）
同理可得Q（）
∴=，=
∵P，F，Q三点共线，∴
∴（m-n）（9+mn）=0
∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-）2=
将（1，0）代入上式的坐标，可得（1-4）2+（0-）2=-mn++（）2=
∴以线段MN为直径的圆的方程经过点（1，0）
同理（7，0）也在圆上，
综上，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
（3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），
故以线段MN为直径的圆的半径的最小值为
∴以线段MN为直径的圆的面积的最小值为9π．