Question

已知函数．
（1）当时，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）函数f（x）是否存在零点，若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．

Answer

（1）欲求曲线y=f（x）在其上一点x=0处的切线的方程，只须求出切线斜率，切点坐标即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用函数求出切点坐标，进而得切线方程；
（2）由于函数f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞）．下面对x的范围进行分类讨论：当x∈（a，+∞）时，f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（-∞，a）时，令g（x）=ex（x-a）+1．构造新函数，对新函数求导，做出函数的单调性，得到函数的最小值，从而得到要求的结果．
【解析】
（Ⅰ），，．
当时，f'（0）=-3．又f（0）=-1．                        …．．（2分）
则f（x）在x=0处的切线方程为y=-3x-1．                     …．．（4分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞）．
当x∈（a，+∞）时，，所以．
即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．                            …．．（6分）
当x∈（-∞，a）时，，
令g（x）=ex（x-a）+1．                                         …（7分）
只要讨论g（x）的零点即可．g'（x）=ex（x-a+1），g'（a-1）=0．
当x∈（-∞，a-1）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；
当x∈（a-1，a）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
所以g（x）在区间（-∞，a）最小值为g（a-1）=1-ea-1．                   …．．（9分）
显然，当a=1时，g（a-1）=0，所以x=a-1是f（x）的唯一的零点；
当a＜1时，g（a-1）=1-ea-1＞0，所以f（x）没有零点；
当a＞1时，g（a-1）=1-ea-1＜0，所以f（x）有两个零点．       …．．（12分）