Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（1）证明：DF⊥平面PAF；
（2）在线段AP上取点G使AG=AP，求证：EG∥平面PFD．

Answer

（1）通过证明DF⊥AF，DF⊥AF，PA∩AF=A，即可证明DF⊥平面PAF；
（2）在AD上取点H，使AH=AD，取AD的中点Q，连接EH、GH、BQ，由EH是△ABQ的中位线，通过证明平面EGH∥平面PFD，然后证明EG∥平面PFD．
【解析】
（1）在矩形ABCD中，由条件得AF=DF=，
又AD=2，所以AF2+DF2=AD2，
所以DF⊥AF．
因为PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，
所以DF⊥平面ABCD，所以DF⊥AF，PA∩AF=A，
所以DF⊥平面PAF；
（2）在AD上取点H，使AH=AD，取AD的中点Q，
连接EH、GH、BQ，由EH是△ABQ的中位线，
知EH∥BQ．
而BQ∥DF，所以EH∥DF．
又EH不在平面PFD，DF⊂平面PFD，DF⊂平面PFD，
所以EH∥平面PFD．
由AG=AP，AH=AD，可知GH∥PD，
又GH不在平面PDF，PD⊂平面PDF，
所以GH∥平面PFD，又EH∥平面PDF，GH∩EH=H，
所以
平面EGH∥平面PFD，
所以EG∥平面PFD．