Question

如图，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿对角线AC将△ABC折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线BC与AD所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer

解法1：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证明，可得AB⊥CD，再利用AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求出，利用向量夹角公式，可求异面直线BC与AD所成的角；
（Ⅲ）求出平面ACD的法向量，平面ABD的法向量，利用向量夹角公式，可求二面角B-AD-C的平面角；
解法2：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）取CD中点E，AB中点F，连OE，OF，EF，则可得∠EOF或其补角为AD，BC所成的角．在△EOF中，利用余弦定理可求异面直线BC与AD所成的角；
（Ⅲ）过O作OG⊥AD于G，连BG，则∠OGB为所求二面角的平面角，在Rt△OGB中可求．
解法1：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵，∴AC2+DC2=AD2，∴AC⊥DC．
又BO⊥平面ACD，AC⊂平面ACD，∴BO⊥AC，又AB=CB，∴O为AC中点．
以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x，z轴，以过O且平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系．…（3分）
则，
∴，，∴，∴AB⊥CD，
又AB⊥BC，BC∩CD=C，∴AB⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴，即异面直线BC与AD所成的角为60°．…（9分）
（Ⅲ）平面ACD的法向量为．
设平面ABD的法向量为，则，即，解得，
取z=1，∴．
设二面角B-AD-C的平面角为θ，则．…（12分）
解法2：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵，∴AC2+DC2=AD2，∴AC⊥DC．
又BO⊥平面ACD，∴AB⊥CD，又AB⊥BC，BC∩CD=C，∴AB⊥平面BCD…（4分）
（Ⅱ）∵BA=BC，BO⊥AC，∴O为AC中点．
取CD中点E，AB中点F，连OE，OF，EF，则OE∥AD，OF∥BC，

∴∠EOF或其补角为AD，BC所成的角．
作FH∥BO交AC于H，连HE，则FH⊥平面ACD，
∴，
在△EOF中，∵，∴，
∴∠EOF=120°，故异面直线BC与AD所成的角为60°．…（8分）
（Ⅲ）过O作OG⊥AD于G，连BG，则∠OGB为所求二面角的平面角．
Rt△OGB中，，∴．…（12分）