Question

线段AB是圆C₁：x²+y²+2x-6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C₂以A，B为焦点．若P是圆C₁与双曲线C₂的一个公共点，则|PA|+|PB|=（ ）
A．
B．4
C．4
D．6

Answer

由题设知双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，双曲线的实半轴a=，由P是圆C1与双曲线C2的公共点，知||PA|-|PB||=2，|PA|2+|PB|2=40，由此能求出|PA|+|PB|．
【解析】
∵圆C1：x2+y2+2x-6y=0的半径r==，
线段AB是圆C1：x2+y2+2x-6y=0的一条直径，
离心率为的双曲线C2以A，B为焦点，
∴双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，
∵P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，
∴||PA|-|PB||=2a，|PA|2+|PB|2=40，
∴|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|=4a2，
∵c=，e==，
∴a=，
∴2|PA||PB|=32，
∴∴|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）2=72，
∴|PA|+|PB|=6．
故选D．