Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，E，F分别在棱BB₁，DD₁上，且AF∥EC₁．
（1）求证：AE∥FC₁；
（2）若AA₁⊥平面ABCD，四边形AEC₁F是边长为的正方形，且BE=1，DF=2，求线段CC₁的长，并证明：AC⊥EC₁．

Answer

（1）根据四棱柱的底面ABCD是平行四边形，得四棱柱为平行六面体，可得平面AA1B1B∥平面CDD1C1，再根据面面平行的性质定理，可证出AE∥FC1；
（2）设连接AC、BD，交于O点．连接AC1、EF，交于点O1，连接O1O．利用△ACC1与梯形BEFD有公共的中位线，得C1C=BD+EF=3．分别在Rt△ACC1、Rt△ABE和Rt△ADF中，用勾股定理加以计算，得AC2+BC2=5=AB2，可得AC⊥BC，结合AC⊥BB1，得AC⊥平面BB1C1C，从而证出AC⊥EC1．
【解析】
（1）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，
∴AA1∥DD1，AB∥CD…（1分）
∵DD1、CD⊆平面CDD1C1，AA1、AB⊄平面平面CDD1C1，
∴AA1∥平面CDD1C1，AB∥平面CDD1C1，…（3分）
∵AA1、AB⊆平面AA1B1B，且AA1∩AB=A，
∴平面AA1B1B∥平面CDD1C1，…（4分）
∵AF∥EC1，∴A、E、C1、F四点共面．…（5分）
∵平面AEC1F∩平面AA1B1B=AE，平面AEC1F∩平面CDD1C1=FC1，
∴AE∥FC1；…（7分）
（2）设连接AC、BD，交于O点．连接AC1、EF，交于点O1，连接O1O
∵四边形ABCD，四边形AEC1F都是平行四边形，
∴O为AC、BD的中点，O1为AC1、EF的中点．…（8分）
∵BE∥DF，∴O1O=C1C=（BE+EF）．
∵BE=1，DF=2，∴CC1=3…（10分）
∵AA1⊥平面ABCD，四边形AEC1F是正方形，
∴△ACC1，△ABE，△ADF均为直角三角形，得
AC2=-=2AE2-=12-9=3，AB2=AE2-BE2=6-1=5
BC2=AD2=AD2-DF2=6-4=2
∴AC2+BC2=5=AB2，可得AC⊥BC．…（12分）
∵BB1⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB1．
∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线
∴AC⊥平面BB1C1C …（13分）
∵EC1⊆平面BB1C1C
∴AC⊥EC1  …（14分）