Question

如图，M，N是抛物线C₁：x²=4y上的两动点（M，N异于原点O），且∠OMN的角平分线垂直于y轴，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，B．
（1）求实数λ，μ的值，使得；
（2）若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C₂经过A，M．求椭圆C₂焦距的最大值及此时的方程．

Answer

（1）由∠OMN的角平分线垂直于y轴知，直线OM与直线MN的倾斜角互补，从而斜率之和等于0，确定B，M，N的坐标代入中，即可求得结论；
（2）设椭圆C2的方程为（a＞b＞0），将A（2x1，0），M（）代入，得，从而可得，进而可表示椭圆C2的焦距，利用基本不等式确定最值，从而可得椭圆C2的方程．
【解析】
（1）设M（），N（），x1x2≠0，x1≠x2
由∠OMN的角平分线垂直于y轴知，直线OM与直线MN的倾斜角互补，从而斜率之和等于0，即+=0
化简得x2=-2x1．（3分）
由点M（），N知，直线MN的方程为．
分别在其中令y=0及x=0得A（2x1，0），B（0，）．（5分）
将B，M，N的坐标代入中得，（7分）
所以，（8分）
（2）设椭圆C2的方程为（a＞b＞0），
将A（2x1，0），M（）代入，得，（9分）
解得，由a2＞b2得．（10分）
椭圆C2的焦距2c=（12分）
当且仅当，即时，上式取等号，故，（13分）
此时椭圆C2的方程为（14分）