Question

定义数列{a_n}：a₁=1，a₂=2，且对任意正整数n，有（-1）ⁿ⁺¹+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
（2）问是否存在正整数m，n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，则求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，则加以证明．

Answer

（1）由数列递推式可得数列{a2k-1}是首项a1=1，公差为2等差数列；数列{a2k}是首项a2=2，公比为3的等比数列，由此可得数列{an}的通项公式；对任意正整数k，先分组求和S2k，进而可得S2k-1=S2k-a2k，从而可得数列{an}的前n项和；
（2）若S2n=mS2n-1，则3n+n2-1=m（3n-1+n2-1），从而可求m=1，2，3，分类讨论，即可求得符合条件的正整数对（m，n）．
【解析】
（1）对任意正整数k，（-1）2k+1=a2k-1+2，
（-1）2k+1+1=3a2k．（1分）
所以数列{a2k-1}是首项a1=1，公差为2等差数列；数列{a2k}是首项a2=2，公比为3的等比数列．（2分）
∴对任意正整数k，a2k-1=2k-1，a2k=2×3k-1．（3分）
∴数列{an}的通项公式an==（4分）
∴对任意正整数k，S2k=+=3k+k2-1，S2k-1=S2k-a2k=3k-1+k2-1（6分）
∴数列{an}的前n项和为Sn==（7分）
（2）若S2n=mS2n-1，则3n+n2-1=m（3n-1+n2-1）
∴3n-1（3-m）=（m-1）（n2-1），
∴m≤3，∴m=1，2，3（8分）
①当m=1时，3n-1（3-m）＞0=（m-1）（n2-1），即S2n≠mS2n-1；（9分）
②当m=3时，3n-1（3-3）=（2-1）（n2-1），∴n=1，即S2，=3S1；（10分）
③当m=2时，3n-1=n2-1，则存在k1＜k2，k1，k2∈N，使得n-1=3k1，n+1=3k2，k1+k2=n-1
从而3k2-3k1=3k1（3k2-k1-1）=2，得3k1=1，3k2-k1-1=2，
∴k1=0，k2-k1=1，得n=2，即S4=2S3．（13分）
综上可知，符合条件的正整数对（m，n）只有两对：（2，2）与（3，1）（14分）