Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤f（）|对一切x∈R恒成立，则
①f（）=0；
②|f（）|＜|f（）|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是    （写出所有正确结论的编号）．

Answer

化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（） 是三角函数的最大值，得到x= 是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．
【解析】
∵f（x）=asin2x+bcos2x=±sin（2x+θ）
由f（x）≤f（）可得f（）为函数f（x）的最大值
∴2×
∴
∴f（x）=asin2x+bcos2x=±sin（2x+）
对于①f（）=sin（2×+）=0；故①对
对于②，|f（）|=|sin（+）|=
|f（）|=|sin（）|=|sin|=
∴|f（）|＞|f（）|故②错
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③正确
对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对
对于⑤要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞，b2＞a2+b2这不可能，矛盾，故不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤正确
故答案为：①③⑤