Question

在△ABC中a，b，c分别为角A，B，C所对的边的边长．
（1）试叙述正弦或余弦定理并证明之；
（2）设a+b+c=1，求证：a²+b²+c²．

Answer

（1）写出正弦定理，作出三角形ABC的外接圆，设外接圆半径为R，利用圆周角定理及锐角三角函数定义即可证明；
（2）由a，b及c都大于0，利用基本不等式得到a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三等式左边两边相加后得到一个不等式，不等式左右两边都加上a2+b2+c2，右边利用完全平方公式化简，变形后即可得证．
【解析】
（1）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C，
正弦定理为：===2R，
证明：作出△ABC的外接圆O，连接BO并延长，与圆O交于D点，连接CD，

可得∠A=∠D，∠BCD=90°，设圆的半径为R，BC=a，AB=c，AC=b，
在Rt△BCD中，设BD=2R，
∴sinD=sinA==，即=2R，
同理=2R，=2R，
则===2R；
（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ca，又a+b+c=1，
∴3（a2+b2+c2）≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2=1，
则a2+b2+c2≥．