Question

已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足||-||=4，|-|=10，=，且 =+λ（），（λ＞0），的值为（ ）
A．2
B．4
C．3
D．5

Answer

根据题中向量的等式结合平面几何知识，可得I为△PAB内心．过I作IH⊥AB于H，以I为圆心，IH为半径作出△PAB内切圆如图，可得||=（||+||-||）=3，结合向量数量积的运算公式和直角三角形中三角函数的定义，可得=cos∠IBH==3．
【解析】
∵，
∴由=，得cos∠APC=cos∠BPC，
∴∠APC=∠BPC，PC是∠APB的平分线
∵=+λ（），（λ＞0），
∴=λ（），（λ＞0），得I在∠CAP的平分线上
因此，I为△APB的角平分线的交点，即△PAB内切圆圆心
过I作IH⊥AB于H，以I为圆心，IH为半径，作出△PAB内切圆如图，分别切PA、PB于E、F，
∵||-||=4，|-|=||=10，
∴||=||=（||+||-||）=[||-（||-||）]=3
Rt△BIH中，cos∠IBH=，
∴=cos∠IBH==3
故选C