Question

设函数f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R．ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则
①f（）=0；  ②|f（）|＜|f（）|；
③函数y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④函数y=f（x）的单调递增区间是：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．
以上结论正确的是    （写出所有正确结论的编号）．

Answer

由辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x+θ），结合已知不等式得f（）是函数的最大或最小值，从而得到
f（x）=sin（2x++kπ）=±sin（2x+）．再根据三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，对各选项逐个加以判断，可得①③⑤通过证明可得其正确性，而②④存在反例说明它们不正确．
【解析】
f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），其中角θ满足cosθ=，sinθ=
∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，
∴f（）=或-，得2×+θ=+kπ，k∈Z
因此θ=+kπ，k∈Z．f（x）=sin（2x++kπ）=sin（2x+）或-sin（2x+）
对于①，因为sin（2×+）=sin2π=0，所以f（）=±sin（2×+）=0，故①正确；
对于②，|f（）|=|sin（2×+）|=
∵|f（）|=|sin（2×+）|=sin＜
∴|f（）|＞|f（）|，故②不正确；
对于③，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；
对于④，因为函数的表达式f（x）=sin（2x+）或-sin（2x+），
表达式不确定，故[kπ+，kπ+]（k∈Z）不一定是增区间，故④不正确；
对于⑤，采用反证法
设经过点（a，b）的一条直线与函数y=f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行
方程为y=b，且|b|＞，平方得b2＞a2+b2矛盾，故假设不成立
∴经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．故⑤正确．
故答案为：①③⑤