Question

在数列{a_n}中，已知a_n≥1，a₁=1，且a_n+1-a_n=，n∈N₊．
（1）记b_n=（a_n-）²，n∈N₊，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）对∀k∈N₊，是否总∃m∈N₊使得a_n=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据an+1-an=，可得bn+1-bn=an+12-an2-an+1+an=2，进而可得数列{bn}是等差数列；           
（2）求出bn=+2（n-1）=2n-，根据bn=（an-）2，an≥1，即可求{an}的通项公式；
（3）设∀k∈N+，总∃m∈N+使得am=k，可建立等式，从而求得m=，而k（k-1）总为偶数且非负，由此可得结论
（1）证明：∵an+1-an=，
∴an+12-an2-an+1+an=2，
∴bn+1-bn=an+12-an2-an+1+an=2，
∵a1=1，b1=（a1-）2=
∴数列{bn}是以为首项，2为公差的等差数列；           
（2）【解析】
由（1）得bn=+2（n-1）=2n-，∴（an-）2=2n-
∵an≥1，∴an=+；
（3）【解析】
设∀k∈N+，总∃m∈N+使得am=k，即
整理得m=，而k（k-1）总为偶数且非负，
故m=满足题意．