Question

已知椭圆C：的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点E（2，0）且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，证明：N，F，P三点共线．

Answer

（I）由题可知：，解方程可求a，b，进而可求椭圆方程
（II）要证明P，F，N三点共线，只要证明即可
解（I）由题可知：  …（2分）
解得a=，c=1，b=1
∴椭圆C的方程为C：=1…（4分）
（II）设直线L：y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2），P（x1，-y1），F（1，0），
由得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0．…（6分）
所以，．…（8分）
而=（x2-1，kx2-2k），
=（x1-1，-kx1+2k），…（10分）
∵（x1-1）（kx2-2k）-（x2-1）（-kx1+2k）=k[2x1x2-3（x1+x2）+4]
=k（）=0
∴
∴P，F，N三点共线 …（12分）