Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求导数，由导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（II）若对任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈[，2]时，恒成立，即x∈[，2]时，a＞恒成立，确定右边函数的最大值即可．
【解析】
（I）当a=1时，，∴
由f′（x）＞0得x＜2，f′（x）＜0得x＞2
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，2），单调递减区间为（2，+∞）．
（II）若对任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈[，2]时，恒成立，
即x∈[，2]时，a＞恒成立
设，x∈[，2]，则，x∈[，2]，
设，∵＞0在x∈[，2]上恒成立
∴h（x）在x∈[，2]上单调递增
即在x∈[，2]上单调递增
∵，
∴在[，2]有零点m
∴在[，m]上单调递减，在（m，2]上单调递增
∴，即，
∴a＞．