Question

定义域在R上的函数f（x）满足：①f（x+2）是奇函数；②当x≥2时，f′（x）≥0．又＜x₁+x₂＜4，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒小于0
B．恒大于0
C．恒大于等于0
D．恒小于等于0

Answer

根据题目给出的函数f（x+2）是奇函数，可知道函数f（x）的对称中心为（0，0），再根据当x≥2时，f′（x）≥0，知除特殊情况外函数f（x）在（2，+∞）上为增函数，不等式
＜x1+x2＜4可得到x1与x2的大体位置，且能判处离2的远近，最后根据奇函数对称性得到结论．
【解析】
由f（x+2）是奇函数，知函数f（x+2）的对称中心为（0，0），所以函数f（x）的对称中心为（2，0），且f（2）=0．
若f（x）=0，满足：①f（x+2）是奇函数；②当x≥2时，f′（x）≥0，此时f（x1）+f（x2）的值等于0；
若f（x）≠0，再由当x≥2时，f′（x）≥0，知f（x）在（2，+∞）上为增函数，因为f（2）=0，所以在（2，+∞）上有f（x）＞0，根据对称性知，在（-∞，0）上有f（x）＜0．
由＜x1+x2＜4，得（x1-2）+（x2-2）＜0，且（x1-2）（x2-2）＜0，所以有x1-2与 x2-2异号，且负数的绝对值大于正数，也就是x1，x2在2的两侧，且左侧的离2要远，
所以f（x1）+f（x2）的值恒小于0．
综上，f（x1）+f（x2）的值恒小于等于0．
故选D．