Question

如图所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，P点在A₁B₁上，且满足=λ（λ∈R）．
（I）证明：PN⊥AM；
（II）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求出该最大角的正切值；
（III）在（II）条件下求P到平而AMN的距离．

Answer

（Ⅰ） 以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，分别求出与的坐标，要证PN⊥AM，只需求证它们的数量积为零即可；
（II）设出平面ABC的一个法向量，表达出sinθ，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正切值；
（III）求出平面AMN的法向取=（1，-1，2），=（，0，1），利用d=可得结论．
（Ⅰ） 证明：以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz
则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，）
∴，=（0，1，）
从而=，∴PN⊥AM；
（Ⅱ）【解析】
平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），
则sinθ=|cos＜，＞|==
而，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，
故λ=时，sinθ取到最大值时，tanθ=2．
（Ⅲ）【解析】
设平面AMN的法向量为=（x，y，z）   
由•=0，•=0，得，∴可取=（1，-1，2）
∵=（，0，1）
∴d==．