Question

己知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II） M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer

（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（II）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，通过对参数λ的讨论，判断出M的轨迹．
【解析】
（Ⅰ）由题意，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2，
∵直线x-y+2=0与圆相切，∴d==b，即b=，
又e=，即a=c，
∵a2=b2+c2，
∴a=，c=1，
∴椭圆方程为． 
（Ⅱ）设M（x，y），其中x∈[-，]．
由已知及点点P在椭圆C上可得==λ2，
整理得（3λ2-1）x2+3λ2y2=6，其中x∈[-，]．
①当λ=时，化简得y2=6，
∴点M轨迹方程为y=（），轨迹是两条平行于x的线段；
②当λ≠时时，方程变形为，其中x∈[-，]．
当0＜λ＜时，点M轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分；
当时，点M轨迹为中心在原点、长轴在x上的椭圆满足的部分；
当λ≥1时，点M轨迹为中心在原点、长轴在x上的椭圆．