Question

已知数列{a_n} 中a₁=2，点（a_n，a_n+1） 在函数f（x）=x²+2x的图象上，n∈N^*．数列 {b_n} 的前n项和为S_n，且满足b₁=1，当n≥2时，S_n²=b_n（S_n-）
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）求S_n；
（3）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）+…+（1+a_n），c_n=，求的值．

Answer

（1）点（an，an+1） 在函数f（x）=x2+2x的图象上，得到关系式，通过对数运算，推出数列{lg（1+an）}是等比数列．
（2）利用数列 {bn} 的前n项和为Sn，且满足b1=1，当n≥2时，Sn2=bn（Sn-），推出为等差数列，然后求出Sn；
（3）利用（1）求出an，Tn，Cn，化简，然后求出表达式的极限．
【解析】
（1）由已知可得an+1=an2+2an，
∴an+1+1=（an+1）2
∵a1=2，∴an+1＞1，两边取对数得lg（1+an+1）=2lg（1+an），
即
∴数列{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．
（2）当n≥2时，Sn2=bn（Sn-）=（Sn-Sn-1）（Sn-）
展开整理得：Sn-Sn-1=2SnSn-1，若Sn=0，则有bn=0，则S2=1+b2≠0，矛盾，所以Sn≠0，
所以在等式两侧同除以SnSn-1得，
∴为等差数列
∴，
∴．
（3）由（1）知lg（1+an）=2n-1•lg（1+a1）=2n-1•lg3=．
∴1+an=．
∴Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an）===．
cn===．
∴=
∴=．