Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．

Answer

（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，分别求出与的坐标，要证PN⊥AM，只需求证它们的数量积为零即可；
（2）过P作PE⊥AB于E，连接EN，则∠PNE为直线PN与平面ABC所成的角θ，求出此角的正切值，然后研究其最大值即可求出λ的值．
【解析】
（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz
则（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，）
从而=（，，-1），=（0，1，）
•=（-λ）×0+-1×=0
所以PN⊥AM（6分）

（2）过P作PE⊥AB于E，连接EN，则PE⊥面ABC，
则∠PNE为所求角θ，
所以，因为当E在AB中点时，．（tanθ）max=2
此时，．（12分）