Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数．现给出下列的四个无穷数列：（1）；（2）；（3）a_n=2n；（4），写出上述所有属于集合W的序号    ．

Answer

根据集合W是否满足①；②an≤M，其中n∈N*，M是与n无关的常数这两个条件的集合，说明不是可根据函数的单调性，判定数列是不存在最大值，从而可判定选项．
【解析】
（1）由an=2n-n2，得an+an+2-2an+1=2n-n2-（n+2）2+2（n+2）+2（n+1）2-4（n+1）=-2≤0
所以数列{an}满足．
又an=-（n-1）2+1，当n=1时，an取得最大值1，即an≤1．
满足集合W的两个条件，从而可知（1）属于集合W
（2）由得=2×3n-2＞0
∴无穷数列{an}是单调递增数列，故不存在M满足条件
则（2）不属于集合W
（3）由an=2n得an+1-an=2（n+1）-2n=2＞0
∴无穷数列{an}是单调递增数列，故不存在M满足条件
则（3）不属于集合W
（4）由得an+an+2-2an+1≤0
所以数列{an}满足．
当n趋向无穷大时，趋近于3，故an＜3
满足集合W的两个条件，从而可知（4）属于集合W
故答案为：（1）（4）