Question

如图，椭圆的上顶点B，M、N是椭圆C上异于点B的两个动点．
（1）若M为椭圆C的下顶点，N为椭圆C的右顶点，求△BMN外接圆的方程；
（2）若动点M、N关于原点中心对称，试求直线BM与BN的斜率之积．

Answer

法一：（1）依题意，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），由，得直线l的方程为y-=2（x-1），由此能求出△BMN外接圆的方程．
（2）设M（x1，y1），N（-x1，-y1），则，，由此能求出直线BM与BN的斜率之积．
法二：（1）由已知，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），设△BMN的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由此能求出△BMN外接圆的方程．
（2）设MN的方程为y=kx，由，得，或，由此能求出直线BM与BN的斜率之积．
解法一：（1）依题意，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），
∵，
∴BN的垂直平分线l的斜率kl=2，
∵BN的中点为（1，），
∴直线l的方程为y-=2（x-1），
令y=0，得x=，
∴外接圆圆心的坐标为（），
∴外接圆半径为2-=，
∴△BMN外接圆的方程为．

（2）设M（x1，y1），N（-x1，-y1），
∴，，
∴kBM•kBN==，
∵，
∴，
∴=-．

解法二：（1）由已知，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），
设△BMN的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，
解得，
∴所求圆的方程为．
（2）直线MN的斜率显然存在，设MN的方程为y=kx，
由，得，或，
∴kBM•kBN==-．