Question

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer

（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，由此能求出a．
（2）k＜对任意x＞1恒成立，等价于k＜对任意x＞1恒成立，求出右边的最小值，即可求得k的最大值．
【解析】
（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，
∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx
∴k＜对任意x＞1恒成立，等价于k＜对任意x＞1恒成立
令g（x）=，则g′（x）=
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
则h′（x）=1-=＞0
∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x，满足x∈（3，4），且h（x）=0
当x∈（1，x）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当x∈（x，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）=在（1，x）上单调递减，在（x，+∞）上单调递增
∴g（x）min=g（x）==∈（3，4），
∴k＜g（x）min=x∈（3，4），
∴整数k的最大值为3．