Question

已知椭圆C：，F为其右焦点，A为左顶点，l为右准线，过F的直线l′与椭圆交于异于A点的P、Q两点．
（1）求的取值范围；
（2）若AP∩l=M，AQ∩l=N，求证：M、N两点的纵坐标之积为定值．

Answer

（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则yi=k（xi-1）（i=1，2），由消去y得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，利用韦达定理将=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）最终转化为=，通过换元即可求得的取值范围；
（2）右准线l的方程为x=4，由（1）可求得直线AP与AQ的方程，从而可得点M与点N的纵坐标，点M与点N的纵坐标之和为：，通分化简可得其结果为-9，问题解决．
【解析】
（1）∵椭圆C：，
∴其右焦点F（1，0），左顶点A（-2，0），
∴设直线l′斜率为k，则直线l′的方程为：y=k（x-1），
∴由消去y得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则yi=k（xi-1）（i=1，2），
∴x1+x2=，x1•x2=；
∴=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）
=（x1+2）•（x2+2）+y1•y2
=（x1+2）•（x2+2）+k（x1-1）•k（x2-1）
=（1+k2）•x1•x2+（2-k2）（x1+x2）+4+k2
=（1+k2）•+（2-k2）•（）+4+k2
=．
令μ=，则（27-4μ）k2=3μ，
∴k2=≥0，
∴0≤μ＜．
（2）由（1）可得直线AP的方程为：y=（x+2），AQ的方程为：y=（x+2），
∵右准线l的方程为：x=4，
∴直线AP与l的交点M的纵坐标为：，
同理可得直线AQ与l的交点N的纵坐标为：，
∴+=
=
=
=-9．