Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（I）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAC所成角的余弦值．

Answer

（I）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB；
（Ⅱ）证明平面DPC⊥平面PAC，作EH⊥PC于H，则EH⊥平面PAC，所以∠ECH为直线CE与平面PAC所成角，计算CE，EH，即可求得结论．
（I）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．
∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．
而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB．
（Ⅱ）【解析】
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD
∵∠ACD=90°，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC
∵CD⊂平面DPC
∴平面DPC⊥平面PAC
作EH⊥PC于H，则EH⊥平面PAC
∴∠ECH为直线CE与平面PAC所成角
在直角△PCD中，CD=2，PC=2，∴PD=2
∵E为中点，EH∥CD
∴CE=，EH=
∴sin∠ECH=
∴cos∠ECH=
∴直线CE与平面PAC所成角的余弦值为．