Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．
（I）求证：当N是BC边的中点时，MN∥平面PAC；
（Ⅱ）证明，无论N点在BC边上何处，都有PN⊥AM；
（Ⅲ）当BN等于何值时，PA与平面PDN所成角的大小为45°．

Answer

（Ⅰ）取AB的中点E，连接EN，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，从而可得平面MNE∥平面PAC，利用面面平行的性质，可得MN∥平面PAC；
（Ⅱ）先证明BC⊥平面PAB，可得线面垂直，进而可证AM⊥平面PBC，利用线面垂直的性质，可得无论N点在BC边的何处，都有PN⊥AM；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，可得平面PDN的法向量，利用向量的夹角公式，结合PA与平面PDN所成角的大小为45°，即可求得BN的值．
（Ⅰ）证明：取AB的中点E，连接EN，
∵M是PB的中点，N是BC中点，∴ME∥PA，NE∥AC．
∵ME∩NE=E，PA∩AC=A，∴平面MNE∥平面PAC．
又MN⊂平面MNE，∴MN∥平面PAC…（4分）
（Ⅱ）证明：∵PA=AB=1，M是PB的中点，∴AM⊥PB．
又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．
又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
又AM⊂平面PAB，∴AM⊥BC．
∵PB∩BC=B
∴AM⊥平面PBC．
又PN⊂平面PBC，∴PN⊥AM．
所以无论N点在BC边的何处，都有PN⊥AM；…（8分）
（Ⅲ）【解析】
分别以AD，AB，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BN=m，则A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，1，0），C（2，1，0），N（m，1，0），P（0，0，1），
∴，，．
设平面PDN的法向量为=（x，y，z），则，∴
令x=1得y=2-m，z=2，则
设PA与平面PDN所成的角为θ，则=，
∴，
解得或（舍去）．
∴．…（12分）