Question

设函数．
（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）当a=0，b=-1时，函数F（x）=f（x）-λx²有唯一零点，求正数λ的值．

Answer

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1-a．所以，由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）-λx2有唯一零点，即λx2-lnx-x=0有唯一实数解，设g（x）=λx2-lnx-x，则．令g'（x）=0，2λx2-x-1=0．由此进行分类讨论，能求出λ．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1-a．
∴．…（2分）
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．…（4分）
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以＞1，解得-1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞-1．…（6分）
（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）-λx2有唯一零点，
即λx2-lnx-x=0有唯一实数解，
设g（x）=λx2-lnx-x，
则．令g'（x）=0，2λx2-x-1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．
因为x＞0，所以x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…（9分）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，
则即
因为λ＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，
代入方程组解得λ=1．…（12分）