Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AC∩BD=O，侧棱AA₁⊥BD，AA₁=4，棱AA₁与底面所成的角为60°，点F为DC₁的中点．
（I）证明：OF∥平面BCC₁B₁；
（II）求三棱锥C₁-BCD的体积．

Answer

（I）△DBC1中利用中位线定理，得OF∥BC1，结合线面平行的判定定理，可得OF∥平面BCC1B1；
（II）由BD与A1A、AC两条相交直线垂直，可得BD⊥平面ACC1A1，从而平面ABCD⊥平面ACC1A1．过A1作A1M⊥AC于M，得到A1M⊥平面ABCD，且∠A1AM是AA1与底面所成的角．在Rt△AA1M中，算出A1M的长，再用正弦定理算出△BCD的面积，最后用锥体体积公式，可得三棱锥C1-BCD的体积．
【解析】
（I）∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，
∴O是BD的中点…（2分）
又∵点F为C1D的中点，
∴OF是△DBC1的中位线，得OF∥BC1，…（4分）
∵OF⊄平面BCC1B1，BC1⊆平面BCC1B1，
∴OF∥平面BCC1B1；…（6分）
（II）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又∵BD⊥AA1，AA1∩AC=A，BD⊥平面ACC1A1，
∵BD⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ACC1A1，…（8分）
在平面ACC1A1内过A1作A1M⊥AC于M，则A1M⊥平面ABCD，
∴AM是直线AA1在平面ABCD内的射影，∠A1AM=60°…（10分）
在Rt△AA1M中，A1M=AA1•sin60°=2，
∴三棱锥C1-BCD的底面BCD上的高为2，
又∵S△BCD=BC•CD•sin60°=，
∴三棱锥C1-BCD的体积V=×S△BCD×A1M=××2=2．…（12分）