Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=cosx，设a=f（0.5），b=f（），c=f（），则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a

Answer

利用函数的周期性与当x∈（0，1]时f（x）=cosx，结合f（x+1）=-f（x）可求得b=-cos（-1），c=-cos（-1）利用余弦函数的单调性即可得到答案．
【解析】
∵f（x+1）=-f（x），
∴f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的函数．
又x∈（0，1]时，f（x）=cosx，f（x+1）=-f（x），
∴b=f（）
=-f（+1）
=-f（+1-2）
=-f（-1）
=-cos（-1），
同理，c=f（）=-cos（-1），
∵0＜-1＜-1＜1，f（x）=cosx在[0，1]上是减函数，
∴cos（-1）＞cos（-1），
-cos（-1）＜-cos（-1）＜0，
即b＜c＜0，
而a=f（0.5）=cos0.5＞0，
∴a＞c＞b
故选B．