Question

如图，是⊙O的一段劣弧，弦CD平分∠ACB交于点D，BC切于点C，延长弦AD交 BC于点B，
（1）若∠B=75°，则∠ADC=    ；
（2）若⊙O的半径长为，CD=3，则BD=    ．

Answer

（1）设∠A=α，由题意可得，∠ADC=∠B+∠BCD=75°+∠BCD，∠A=∠BCD=∠ACD，结合三角形的 内角和定理即可求解α，进而可求∠ADC
（2）由题意可得，∠ACD=∠CAD=∠BCD=α，由正弦定理可得，可求sinα，然后再次利用正弦定理可得BC与BD的关系，由切割线定理可得，BC2=BD•BA可求
【解析】
（1）设∠A=α
由题意可得，∠ADC=∠B+∠BCD=75°+∠BCD
∵BC切于点C，CD平分∠ACB
由弦切角定理可得，∠A=∠BCD=∠ACD
∵∠A+∠BDC+∠BCD=180°
∴75°+α+α+α=180°
∴α=35°
∴∠ADC=75°+α=110°
（2）由题意可得，∠ACD=∠CAD=∠BCD=α
∵△ADC为圆的内接三角形
由正弦定理可得，
∴sin，cos
△BCD中，∠CDB=2α
由正弦定理可得，
∴=2cosα=
由切割线定理可得，BC2=BD•BA
即
∴BD=
故答案为：110°，