Question

设数列{a_n}的前N项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{S_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式a_n；
（Ⅲ）若数列{}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer

（Ⅰ）要证明数列{Sn+1}为等比数列，只要证明 为常数即可
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，利用a1=S1，当n＞1时，an=Sn-Sn-1可求
（Ⅲ）由等差数列的通项公式可求，利用错位相减可求数列的和
证明：（Ⅰ）因为 Sn+1=3Sn+2，
所以 =3．
又∵S1+1=3
所以数列 {1+Sn}是首项为3，公比为3的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
当n=1时，a1=S1=2．
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=（3n-1）-（3n-1-1）
=2×3n-1
故．
（Ⅲ）因为 数列{}是首项为1，公差为2的等差数列，
由等差数列的通项公式可得 =1+2（n-1）=2n-1
所以 ．
所以
   3Tn=2[1•3+3•32+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n]．
两式相减可得，-2Tn=2[1+2×3+2×32+…+2×3n-1-（2n-1）•3n]
∴Tn=1+2×3×
∴