Question

已知函数y=f（x）在区间[a，b]上均有意义，且A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点．对应于区间[0，1]内的实数λ，取函数y=f（x）的图象上横坐标为x=λa+（1-λ）b的点M，和坐标平面上满足的点N，得．对于实数k，如果不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，那么就称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x²+x在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ ）
A．
B．[0，+∞）
C．
D．

Answer

先得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．
【解析】
由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，则k≥|MN|的最大值．
由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，2），（2，6）
∴AB方程为y-6=×（x-2），即y=4x-2
由图象可知，|MN|=4x-2-（x2+x）=-（x-）2+≤
∴k≥
故选C．