Question

设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．

Answer

解法一：（Ⅰ）由已知利用两角差的正弦公式展开可求tanA，结合0＜A＜π，可求A
（Ⅱ）由正弦定理得，则有，结合（I）中的A可得B+C，代入上式，然后结合和差角及辅助角公式可求
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，结合（I）中A可得，b，c的关系，然后利用基本不等式即可求
解法一：（Ⅰ）由已知有，…（2分）
故，．…（4分）
又0＜A＜π，
所以．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得，…（7分）
故．…（8分）
=．…（10分）
所以．
因为，所以．
∴当即时，取得最大值1，
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得，4=b2+c2-bc，…（8分）
所以4=（b+c）2-3bc，即，…（10分）
∴（b+c）2≤16，故b+c≤4．
所以，当且仅当b=c，即△ABC为正三角形时，b+c取得最大值4．…（12分）