Question

设函数f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）记f′（x）为函数f（x）的导函数．若a=1，试问：在区间[1，10]上是否存在k（k＜100）个正数x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f'（x₂）+f′（x₃）+…+f′（x_k）≥2012成立？请证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）当a=-1时，，f′（1）=-1，由此能求出函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ），x＞0，a＜0．令f′（x）=0，则．由此能求出a的取值范围．
（Ⅲ）当a=1时，．记g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．由此入手能够推导出在区间[1，10]上不存在使得f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≥2012成立的k（k＜100）个正数x1，x2，x3…xk．
【解析】
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x2+lnx，，f′（1）=-1，
所以切线的斜率为-1．…（2分）
又f（1）=-1，所以切点为（1，-1）．
故所求的切线方程为：y+1=-（x-1）即x+y=0．…（4分）
（Ⅱ），x＞0，a＜0．…（6分）
令f′（x）=0，则．
当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0．
故为函数f（x）的唯一极大值点，
所以f（x）的最大值为=．…（8分）
由题意有，解得．
所以a的取值范围为．…（10分）
（Ⅲ）当a=1时，．记g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．
∵当x∈[1，10]时，，∴y=g（x）在[1，10]上为增函数，
即y=f′（x）在[1，10]上为增函数．…（12分）
又，
所以，对任意的x∈[1，10]，总有．
所以f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≤，
又因为k＜100，所以．
故在区间[1，10]上不存在使得f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≥2012成立的k（k＜100）个正数x1，x2，x3…xk．…（14分）