Question

甲、乙两个射手进行射击训练，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，每人各射击两发子弹为一个“单位射击组”，若甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，则称此组为“单位进步组”．
（1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；
（2）记完成三个“单位射击组”后出现“单位进步组”的次数ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer

（1）由题意知每人各射击两发子弹，甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，甲击中目标一次和两次都有对应乙不如甲，而甲是单位进步组”，而这两种情况是互斥的，由互斥事件和独立重复试验公式得到结果．
（2）由上一问得到成为“单位进步组”的概率，看出变量的可能情况，根据独立重复试验得到变量对应的事件的概率，写出分布列，算出期望．
【解析】
（1）由题意知每人各射击两发子弹，若甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，
则称此组为“单位进步组”．甲击中目标一次和两次都有对应乙不如甲，而甲是单位进步组”，
设甲击中目标2次时为“单位进步组”的概率为P1，
则P1==
设甲击中目标1次时为“单位进步组”的概率为P2，
则=．
故一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率为P=P1+P2=．
（2）由（1）知，一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率P（A）=
不能成为“单位进步组”的概率P（）=．
ξ可能取值为0，1，2，3．
根据独立重复试验公式得到结果，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==
P（ξ=2）==
P（ξ=3）==

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．