Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AD中点，F为B₁C₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁F∥平面ECC₁；
（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC₁？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）利用平行四边形和四棱柱的性质，证出FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形，从而FA1∥AM．再根据平行四边形ABCD中，E、M分别为AD、BC中点，得四边形AMCE是平行四边形，所以CE∥AM．由此可得CE∥A1F，结合线面平行判定定理，得到A1F∥平面ECC1．
（II）取CD中点G，连接BG，利用正方形的性质结合三角形全等，可得BG⊥EC．由CC1⊥平面ABCD，得CC1⊥BG，结合线面垂直判定定理，得BG⊥平面ECC1．说明在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．
【解析】
（Ⅰ）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取BC中点M，连接AM，FM．
∵平行四边形BB1C1C中，F、M分别是B1C1、BC的中点，
∴FM∥B1B且FM=B1B．…（2分）
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥B1B且AA1=B1B
∴FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形．
∴FA1∥AM．
∵平行四边形ABCD中，E为AD中点，M为BC中点，
∴AE∥MC且AE=MC．得四边形AMCE是平行四边形．…（4分）
∴CE∥AM，可得CE∥A1F．
∵A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，
∴A1F∥平面ECC1．…（6分）
（Ⅱ）结论：在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1
取CD中点G，连接BG…（7分）
在正方形ABCD中，DE=GC，CD=BC，∠ADC=∠BCD，
∴△CDE≌△BCG，得∠ECD=∠GBC．…（9分）
∵∠CGB+∠GBC=90°，所以∠CGB+∠DCE=90°，得BG⊥EC．…（11分）
∵CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴CC1⊥BG，
又∵EC∩CC1=C．EC、CC1⊆平面ECC1．
∴BG⊥平面ECC1．
故在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．…（13分）