Question

已知函数f（x）=4lnx+ax²-6x+b（a，b为常数），且x=2为f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数y=f（x）有3个不同的零点，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）确定函数f （x）的定义域，利用x=2为f（x）的一个极值点，建立方程，可求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=4lnx+x2-6x+b，求导函数，由导数的正负可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ） 求出f （x） 的极大值与极小值，根据函数y=f（x）有3个不同的零点，令极大大于0．极小小于0，即可求实数b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）函数f （x）的定义域为（0，+∞）…（1分）
∵f′（x）=，x=2为f（x）的一个极值点…（2分）
∴f'（2）=2+4a-6=0，∴a=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=4lnx+x2-6x+b
∴f′（x）=…（6分）
由f′（x）＞0可得x＞2或x＜1，由f′（x）＜0可得1＜x＜2．
∴函数f （ x ） 的单调递增区间为 （0，1）和 （2，+∞），单调递减区间为 （1，2 ）．        …（9分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可知函数f （x）在（0，1）单调递增，在（1，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
且当x=1或x=2时，f′（x）=0．                         …（10分）
∴f （x） 的极大值为f（1）=4ln1+1-6+b=b-5…（11分）
f （x）的极小值为f（2）=4ln2+4-12+b=4ln2-8+b…（12分）
由题意可知
则5＜b＜8-4ln2…（14分）