Question

已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线C：x²=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

Answer

（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2和p，则抛物线的方程可得．
（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x，利用直线方程求得y，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．
【解析】
（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=时，l方程为y=（x+4）即x=2y-4．
由得2y2-（8+p）y+8=0
①②∴
又∵，∴y2=4y1③
由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x2=4y．

（2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x，y）
由得：x2-4kx-16k=0④
∴．
∴BC的中垂线方程为
∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2
对于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜-4．
∴b∈（2，+∞）