Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求证：直线AE⊥平面A₁D₁E；
（2）求三棱锥A-A₁D₁E的体积；
（3）求异面直线A₁E与AD₁所成角的大小．

Answer

（1）根据已知中长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，结合长方体的几何特征，我们可得AE⊥A1E，AE⊥A1D1，结合线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A1D1E；
（2）由（1）的结论，我们可得AE即为三棱锥A-A1D1E的高，根据已知求出三棱锥的底面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥A-A1D1E的体积；
（3）取CC1的中点F，连接D1F，则可得∠AD1F即为求异面直线A1E与AD1所成角，在△AD1F中，可求得结论．
（1）证明：∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点
∴AE=A1E=，AA1=2，
∴AA12=AE2+A1E2
∴AE⊥A1E
又∵D1A1⊥平面A1EA，AE⊂平面A1EA
∴AE⊥A1D1，又D1A1∩A1E=A1，
∴AE⊥平面A1D1E；
（2）【解析】
由（1）中AE⊥平面A1D1E，
∴VA-A1D1E=•S△A1D1E•AE==
（3）【解析】
取CC1的中点F，连接D1F，

则A1E∥D1F，所以∠AD1F即为求异面直线A1E与AD1所成角．
∵AB=BC=1，AA1=2，∴
∵
∴D1F⊥AF
在△AD1F中，可求得tan∠AD1F==
∴∠AD1F=arctan．